Піраміда. Приклади задач на піраміду

1. Решение задачи на четырехугольную пирамиду

Задача 1

Основанием пирамиды является квадрат ABCD со стороной 4 см, высота – отрезок . найти площадь боковой поверхности пирамиды.

Решение.

Рис. 1. Иллюстрация к задаче 1

МА⊥АВС. Прямоугольные треугольники МАВ и MAD равны по двум катетам, отсюда . Треугольники МCD и МСВ равны по трем сторонам. Отсюда:

AD – проекция прямой MD на плоскость АВС, AD⊥DC⇒MD⊥DC, отсюда имеем прямоугольный треугольник MDC.

В прямоугольном треугольнике MAD найдем по теореме Пифагора гипотенузу:

Найдем площадь рассматриваемого прямоугольного треугольника:

Рассмотрим прямоугольный треугольник MDC и найдем его площадь:

Так, имеем ответ:

.

2. Свойства правильных многоугольников

Геометрические свойства пирамиды во многом определяются свойствами основания. Рассмотрим эти свойства:

Правильный треугольник (), рис. 2:

Рис. 2. Правильный треугольник

В правильном треугольнике радиус вписанной окружности (), радиус описанной окружности (), высота основания () связаны следующим образом:

.

Рассмотрим треугольник . Он прямоугольный. Выразим из него высоту :

.

Квадрат (), рис. 3:

Рис. 3. Квадрат

Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны и равны;  (это можно найти например из прямоугольного равнобедренного треугольника АВС)

.

Правильный шестиугольник (), рис. 4:

Чтобы нарисовать правильный шестиугольник, удобно пользоваться следующим алгоритмом (рисунок 4):

Построить окружность (зеленая пунктирная линия); Провести диаметр (синяя пунктирная линия); Отметить середины радиусов построенного диаметра; Провести через середины перпендикуляры (красные пунктирные линии); Получены вершины шестиугольника – построить шестиугольник.

Рис. 4. Правильный шестиугольник

3. Решение обобщенной задачи на правильную треугольную пирамиды

Рассмотрим обобщенную задачу на правильную треугольную пирамиду.

Задача 2

В правильной треугольной пирамиде сторона основания , высота . Найти апофему , боковое ребро l, площадь боковой поверхности, тангенс угла наклона бокового ребра к плоскости основания, угол между АВ и CD. Построить общий перпендикуляр к прямым АВ и CD.

Решение. Проиллюстрируем:

Рис. 5. Иллюстрация к задаче 2

Правильная треугольная пирамида полностью задается двумя элементами, в данном случае стороной основания и высотой. Мы подробно рассмотрели свойства правильного треугольника и определили выражение радиусов вписанной и описанной окружностей через высоту. Так, в прямоугольных треугольниках  и DOC нам известен их общий катет – высота пирамиды , известны и вторые катеты: . Можем найти гипотенузы по теореме Пифагора.

Гипотенуза  является искомой апофемой, гипотенуза DС – боковым ребром пирамиды.

Напомним, что углом между прямой и плоскостью называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость. Нам необходимо найти тангенс угла наклона бокового ребра к основанию пирамиды. Т. е. нам необходимо найти . Напомним, что тангенсом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего ему катета к прилежащему. Имеем:

Осталось найти угол между скрещивающимися прямыми АВ и CD. Докажем, что этот угол равен . СО есть проекция наклонной DC на плоскость АВС. Но СО (или ) перпендикулярна АВ, отсюда DC⊥AB.

Рис. 6. Построение общего перпендикуляра к скрещивающимся прямым

Построим общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым АВ и CD (рис. 6). Очевидно, что точка  – середина ребра АВ. Проведем  перпендикулярно DC.

Докажем, что .

Так, общим перпендикуляром к рассматриваемым скрещивающимся прямым является отрезок .

4. Решение нестандартной задачи на тетраэдр

Задача 3

В правильном тетраэдре расстояние между противоположными ребрами равно . Найти ребро тетраэдра.

Рис. 7. Иллюстрация к задаче 3

Правильный тетраэдр – это правильная треугольная пирамида, у которой боковое ребро равно ребру основания. То есть все ребра равны между собой. Обозначим искомую длину ребра за .

Пусть  – середина АВ, М – середина DC. Тогда  – медиана треугольника ADB.  – медиана треугольника АВС. Поскольку эти треугольники равносторонние, медианы являются одновременно высотами.

АМ и ВМ – высоты в равных правильных треугольниках ADC и BDC соответственно. Отсюда треугольник АМВ равнобедренный.

 – его медиана, проведенная к основанию, а значит, по свойству равнобедренного треугольника  (является одновременно высотой). Аналогично  – медиана в равнобедренном треугольнике , она является высотой и имеем . Отсюда заключаем: .

Рассмотрим треугольник АВМ.

Рис. 8. Иллюстрация к задаче 3

МВ – высота в равностороннем треугольнике со стороной , мы её рассматривали в свойствах равностороннего треугольника:

Запишем теорему Пифагора для прямоугольного треугольника :

.

Итак, были рассмотрены типовые задачи на тему «Пирамида», в частности, обобщенные задачи на правильный тетраэдр. Также мы вспомнили некоторые основные геометрические факты.

Список литературы

1. И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е изд., испр. и доп. – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.
2. Шарыгин И. Ф. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.
3. Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2008. – 233 с.: ил.